Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

Méthode

Pour vérifier qu'une fonction \(F\) est une primitive d'une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\) :

• on calcule la dérivée de \(F\) sur \(I\) ;
  
• on vérifie que l'expression \(F'(x)\) obtenue est bien égale à \(f (x)\).

Exemple

Soit \(f\) et \(F\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f (x) = \dfrac{32x}{(x^2+5)^2}\) et \(F(x) = \dfrac{3x^2-1}{x^2+5}\).
Vérifier que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(F\) est un quotient de deux fonctions : pour tout réel \(x\), \(F(x)=\dfrac{\color{blue}{u(x)}}{\color{green}{v(x)}}\).

• On pose pour tout réel \(x\) :
  \(\color{blue}{u(x)=3x^2-1}\) d'où \(\color{blue}{u'(x)=6x}\)
  \(\color{green}{v(x)=x^2+5}\)  d'où \(\color{green}{v'(x)=2x}\)
  
• On applique la formule pour dériver un quotient de fonctions :
  \(F'(x)=\dfrac{\color{blue}{u'(x)} \times \color{green}{v(x)} - \color{blue}{u(x)} \times \color{green}{v'(x)}}{\color{green}{(v(x))^2}}\)
  soit \(F'(x)=\dfrac{\color{blue}{6x} \times \color{red}{(}\color{green}{x^2+5}\color{red}{)} - \color{red}{(}\color{blue}{3x^2-1}\color{red}{)} \times \color{green}{2x}}{\color{red}{(}\color{green}{x^2+5}\color{red}{)}^2}\) 
  soit \(F'(x)=\dfrac{\color{red}{(}6x^3+30x\color{red}{)}-\color{red}{(}6x^3-2x\color{red}{)}}{(x^2+5)^2}\) 
  soit \(F'(x)=\dfrac{6x^3+30x-6x^3+2x}{(x^2+5)^2}\)                 
  soit \(F'(x)=\dfrac{32x}{(x^2+5)^2}\)
  

Pour tout réel \(x\), on a \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).